Можно ли разрезать квадрат со стороной 1 километр на 31 квадратик, один из которых имеет сторону не больше одного метра?

Да. Нужно разрезать исходный квадрат на 4 квадрата. Затем один из получившихся квадратов снова разрезать на 4 квадрата. И так далее. После n-ного разрезания у нас становится 3n+1 квадрат, причем у наименьшего длина стороны в 2^n раз меньше, чем у исходного. Таким образом, после десятого разрезания мы имеем 3*10+1=31 квадрат, и у наименьшего сторона равна 1 км / 2^10 = 1000 м / 1024 < 1 м.