Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=sin2x; y=0; x=π/6; x = π/3

Построим график y=sin2x. Период равен π. Отметим основные точки:

1) x=0; y=sin0=0; 2) x=π/4; y=sinπ/2=1; 3) x=π/2; y=sinπ=0

4) x=3π/4; y=sin3π/2=-1; x=π; y=sin2π=0

Соединяем плавной кривой, получаем синусоиду.

у=0 - ось OX; x=π/6 и x=π/3 - прямые, параллельные оси OY.

Нужно найти площадь фигуры, заключенной между этими прямыми слева и справа, осью OX снизу и синусоидой сверху

S=интеграл от π/6 до π/3 sin2x dx=1/2 интеграл от π/6 до π/3 sin2xd (2x) =

=-1/2cos2x с пределами от π/6 до π/3=-1/2 (cos2*π/3-cos2*π/6) =

-1/2 (cos2π/3-cosπ/3) = - 1/2 (-1/2-1/2) = 1/2