Найдите 27-кратную сумму значений в точках экстремума функции у=4 х3+8 х2-15 х+15?

Находим производную функции у=4 х³+8 х² - 15 х+15.

y' = 12x ²+16x-15.

Производная функции y' существует при любом x.

Приравниваем нулю и находим критические точки.

12x ²+16x-15 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:

D=16^2-4*12 * (-15) = 256-4*12 * (-15) = 256-48 * (-15) = 256 - (-48*15) = 256 - (-720) = 256+720=976; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁ = (√976-16) / (2*12) = (√976-16) / 24=√976/24-16/24=4√61/24 - (2/3) = √61/6 - (2/3) ≈ 0,635042; x₂ = (-√976-16) / (2*12) = (-√976-16) / 24=-√976/24-16/24=-4√61/24 - (2/3) =

-√61/6 - (2/3) ≈ - 1,968375. Получили 2 критические точки: x₁ = √61/6 - (2/3) ≈ 0,635042;

x₂ = - √61/6 - (2/3) ≈ - 1,968375.

Теперь определяем знаки производной вблизи критических точек.

х = - 2 - 1,96838 - 1.5 0.5 0,635042 1

у' = 1 0 - 12 - 4 0 13

В точке x₂ производная меняет знак с + на - это точка максимума функции,

в точке x₁ производная меняет знак с - на + это точка минимума функции.

Значения функции в точках экстремума равны:

у (макс) = (1/27) (739 + 61 √61) ≈ 45,01575.

у (мин) = (1/27) (739 - 61 √61) ≈ 9,724991.

Ответ: 27-кратная сумма значений в точках экстремума функции равна

27 ((1/27) (739 + 61√61) + (1/27) (739 - 61 √61)) = 1478.