Интеграл x*arcsin2x dx как можно решить

U=arcsin (2x) ; du=2 * (1/√ (1-4x^2) dx

dv=xdx; v=integral xdx = (x^2) / 2+c;

integral udv=uv - integral vdu

Применяя эту формулу (интегрирования по частям), получим

integral arcsin2x * xdx=arcsin2x * (0,5x^2+c) - integral (0,5x^2+c) * (2/√ (1-4x^2)) dx=

0,5x^2 * 2/√ (1-4x^2) = x^2 / √ (1-4x^2)

Пусть √ (1-4x^2) = t; t^2=1-4x^2; x^2 = (1-t^2) / 4; 2dx=1/4 * (-2dt) ; dx=-1/4 * dt

integral x^2 / √ (1-4x^2) dx=integral ((1-t^2) / (4t)) (-1/4 dt=-1/16 (int 1/tdt-int tdt) =

=-1/16 * (ln|t| - t^2/2) + c

получаем ... = arcsin2x * 0,5x^2+1/16 * (ln|√1-4x^2) - (√ (1-4x^2) ^2 / 2+c

Проверьте еще раз!