tg (альфа-pi/3) = sqrt 3/4, найдите ctg альфа

Сначала применим к данному выражению формулу тангенса разности:

tg (альфа-pi/3) = (tg α - tg π/3) / (1 + tg α * tg π/3) = (tg α - √3) / (1 + √3tg α)

Теперь приравняем и из равенства получим уравнение, откуда найдём tg α:

(tg α - √3) / (1 + √3tg α) = √3/4

Теперь решим уравнение:

(tg α - √3) / (1 + √3tg α) - √3/4 = 0

(4tg α - 4√3 - √3 - 3 tg α) / 4 (1 + √3tg α) = 0

(tg α - 5√3) / 4 (1 + √3tg α) = 0

Дробь равна 0 тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0:

tg α - 5√3 = 0

tg α = 5√3

Значение тангенса мы нашли. Прежде чем найти котангенс по соотношению ctg α

= 1/tg α, сначала проверим, а то ли это значение тангенса. Для этого исследуем знаменатель вышеозначенной дроби на нуль:

4 (1 + √3tg α) ≠ 0

1 + √3tg α ≠ 0

√3tg α ≠ - 1

tg α ≠ - √3/3

Значит, мы получили верное значение тангенса. Теперь всё проще пареной репы:

ctg α = 1 / tgα

ctg α = 1 : 5√3 = √3 / 15