На некоторой прямой произвольно отмечено 8 точек, а на параллельной ей прямой - 14 точек. Сколько существует треугольников и сколько четырехугольников с вершинами в этих точках?

A) Число треугольников с вершинами в этих точках равно числу способов выбрать две точки на одной прямой и одну - на другой. При этом пару точек, лежащих на одной из прямых, нужно выбирать неупорядченным образом: при их перестановке треугольник не изменится. Если одну вершину выбирать на первой прямой, а еще две на второй, то получится 8·C₁ ₄² = 8*91=728 различных треугольников. Аналогично найдем, что если на первой прямой брать две вершины, а на второй - только одну, получится 14·C₈² = 14*28=392 различных треугольников. Значит, всего треугольников с вершинами в отмеченных точках существует 728+392=1120. b) Для построения четырехугольника надо выбрать по две точки на каждой прямой (иначе получится не четырехугольник, а треугольник или даже отрезок). При этом та точка, которая лежит левее на первой прямой, будет соединяться стороной с точкой, лежащей левее на второй прямой (и то же самое касается точек, которые лежат правее), иначе получится фигура, которую мы четырехугольником не считаем (попробуйте нарисовать такую фигуру). Поэтому пары точек на каждой прямой надо выбирать неупордоченным образом, а затем вершины соединять вышеуказанным способом. Всего есть C14² = 91 способов выбрать пару точек на первой прямой и C8² = 28 способов выбрать пару точек на второй прямой. Количество искомых четырехугольников равно произведению этих чисел, а именно 91*28=2548.