Найдите наименьшее значение суммы двух различных целых положительных чисел, сумма квадратов которых является кубом некоторого целого числа, а сумма их кубов - квадратом другого целого числа.

Два числа а и b.

a^2 + b^2 = n^3

a^3 + b^3 = m^2

Числа положительные, значит 0 нельзя.

Проще всего найти куб, который можно представить как сумму двух квадратов.

1^3=1 - не подходит.

2^3=8=4+4=2^2+2^2; и 2^3+2^3=16=4^2.

В принципе подходит, если числа могут быть равны.

Тогда ответ: a+b=2+2=4.

Если же числа должны быть разными, то проверяем дальше.

3^3=27=1+26=4+23=9+18=16+11=25+2 - не подходит.

4^3=64 - не подходит (я не буду выписывать все суммы)

5^3=125=4+121=2^2+11^2

Сумма кубов 2^3+11^3=8+1331=1339 - не квадрат.

5^3=125=25+100=5^2+10^2

5^3+10^3=125+1000=1125 - не квадрат.

5^3=125 - не подходит.

6^3=216 - не подходит.

7^3=343 - не подходит.

8^3=512 - не подходит.

9^3=729 - не подходит.

10^3=1000=100+900=10^2+30^2

10^3+30^3=1000+9000=10000=100^2 - это решение.

Если числа должны быть разные, то a+b=10+30=40.