Найдите все двузначные числа, сумма цифр которых не меняется при умножение на любое однозначное число, при этом цифра десятков больше цифры единиц

1) Число 10a+b. Сумма цифр = a + b = (10a + b) - 9a

2) Остаток от деления суммы цифр на 9 такой же, что и от деления самого числа на 9.

3) Если после умножения на число сумма цифр не поменялась, значит, не поменялся и остаток от деления на 9.

4) Следовательно, можно найти сначала найти число R (0 < = R < 9) - остаток от деления исходного числа на 9, такое, что при умножении любого однозначного числа на R получалось бы число, дающее в остатке при делении на 9 опять число R.

5) Существует только одно такое число R - это R = 0

6) Исходное число должно делиться на 9.

7) Все кандидаты на роль исходного числа: 54, 63, 72, 81, 90

8) Не подходят числа: 54 (54*7 - сумма цифр 18) ; 63 (63*3 - сумма цифр 18) ; 72 (72*4 - сумма цифр 18) ; 81 (81*6 - сумма цифр 18).

9) Легко проверить, что 90 подходит.

Ответ. 90.