Объясните как выделить полный квадрат из многочлена

Пример: Решить уравнение x 2 + 14x + 45 = 0

Решение:

Разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата. Для применения первой формулы необходимо получить выражение x2 + 14x + 49 = 0. Поэтому прибавим и отнимем от многочлена x2 + 14x + 45 число 4, чтобы выделить полный квадрат x 2 + 14x + 45+4-4 = 0 (x 2 + 14x + 45+4) - 4=0 (x 2 + 14x + 49) - 4=0 (x+7) 2 - 4=0 Применим формулу "разность квадратов" a2 - b2 = (a-b) ⋅ (a+b) (x+7) 2 - 22 = 0 (x + 7 - 2) (x + 7 + 2) = 0 (x + 5) (x + 9) = 0 x + 5 = 0 x + 9 = 0 x1 = - 5 x2 = - 9

Ответ: - 9; -5. Пример: Решить уравнение x2 - 6x - 7 = 0 Решение:

Выделим в левой части полный квадрат. Для применения второй формулы необходимо получить выражение x2 - 6x + 9 = 0

Поэтому запишем выражение x2 - 6x в следующем виде: x2 - 6x = x2 - 2⋅x⋅3

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа x, а второе - удвоенное произведение x на 3. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32

Итак, прибавим и отнимем в левой части уравнения 32, чтобы выделить полный квадрат. x2 - 6x - 7 = x2 - 2⋅ x ⋅3 + 32 - 32 - 7 = (x2 - 2⋅ x ⋅3 + 32) - 32 - 7 = = (x - 3) 2 - 9 - 7 = (x - 3) 2 - 16.

Подставим в уравнение и применим формулу a2 - b2 = (a-b) ⋅ (a+b). (x - 3) 2 - 16=0 (x - 3) 2 = 16 x - 3=4x - 3 = - 4 x=3+4x = 3-4 x1 = 7 x2 = - 1

Ответ: - 1; 7.