Из вершины А треугольника ABC опущены перпендикуляры AM и AP на биссектрисы внешних углов В и С. Чему равен отрезок PM, если периметр треугольника АВС равен 10?

а) 10; б) 5; в) 8; г) 6.

Принимаем, что прямые АМ и АР, проведенные перпендикулярно биссектрисам внешних углов В и С, пересекают прямую, на которой лежит сторона ВС, в точках E и G соответственно. Из того, что высоты ВМ и СР получившихся треугольников ABE и ACG являются их биссектрисами, следует то, что треугольники ABE и ACG равнобедренные, а значит AB = BE, AC = CG, тогда сумма длин отрезков BE + ВС + CG равна периметру треугольника ABC, и EG = 10. С другой стороны, высоты ВМ и СР равнобедренных треугольников ABE и ACG - их медианы, следовательно, точки М и Р - середины отрезков АЕ и AG соответственно. Соединив точки М и Р, мы получим среднюю линию построенного треугольника AEG, исходя из свойств которой можно вычислить длину отрезка РМ = 1/2 EG = 1/2 x 10 = 5. Верный вариант: б) 5.