В уравнении 4x²+49x+4k=0 найти то значение k, при котором его корни

x_{1} и x_{2} удовлетворяют уравнению 12 x_{1} + 8 x_{2}=-95

4x² + 49x + 4k = 0

12 x₁ + 8 x₂ = - 95

Решаем первое уравнение как самое обычное квадратное уравнение. Находим дискриминант, учитывая, что член c равен 4k

D=49² - 4*4*4*k = 49² - 64k

D≥0, k≤49²/64, k≤37,515625 (Дискриминант должен быть неотрицательным, чтоб был хотя бы один корень)

Находим корни в общем виде, с неизвестным пока дискриминантом.

x₁ = (-49-√D) / 8, x₂ = (-49+√D) / 8

Подставляем эти корни во второе уравнение

12 ((-49-√D) / 8) + 8 ((-49+√D) / 8) = - 95

-147 - 3√D - 98 + 2√D = - 190

-√D = 55

√D = - 55 (такого быть не может, корень из любого числа неотрицателен).

Но при возведении в квадрат получаем

D = (-55) ² = 3025

Подставляем это значение в выражение для дискриминанта, полученное в самом начале решения

D = 49² - 64k = 3025

Отсюда находим k

k = - 624/64 = - 39/4

И это значение k соответствует условию неотрицательности дискриминанта

k = - 39/4 ≤ 37,515625

Проверка

Подставляем значение √D = - 55 в формулы для корней.

x₁ = (-49+55) / 8 = 3/4

x₂ = (-49-55) / 8 = - 13

12 * (3/4) + 8 * (-13) = - 95

Все сходится!

Надо учесть, что при вычислении первого корня берется - √D, то есть + 55, а для второго корня, наоборот + √D, то есть - 55