Найдите арифметическую прогрессию (an) если сумма второго и четвертого ее членов равна 14, а сумма квадратов ее первого и третьего членов равна 50

А₁ - первый член данной арифметической прогрессии

(а₁ + d) - второй её член

(a₁ + 2d) - третий

(a₁ + 3d) - четвёртый

По условию

а₂ + а₄ = 14

(а₁ + d) + (a₁ + 3d) = 14

2a₁ + 4d = 14

a₁ + 2d = 7

a₁ = 7 - 2d выразили а₁ через знаменатель прогрессии d

По условию

a₁² + a₃² = 50

т. е.

a₁² + (a₁ + 2d) ² = 50

Заменив а₁ выражением (7 - 2d), получим

(7 - 2d) ² + (7 - 2d + 2d) ² = 50

49 - 28d + 4d² + 49 = 50

4d² - 28d + 48 = 0

разделив обе части уравнения на 4, получим

d² - 7d + 12 = 0

D = 49 - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1

√D = √1 = 1

d₁ = (7 + 1) / 2 = 4

d₂ = (7 - 1) / 2 = 3

1)

найдём а₁ при знаменателе прогрессии d₁ = 4, подставив его в

a₁ = 7 - 2d

a₁ = 7 - 2*4 = 7 - 8 = - 1

Получим прогрессию

- 1; 3; 7; 11; 15; ...

2)

при d₂ = 3 получим a₁ = 7 - 2 * 3 = 7 - 6 = 1

Получим прогрессию

1; 4; 7; 10; 13; 16; ...

Обе удовлетворяют условию

Ответ: - 1; 3; 7; 11; 15; 19; ... первая прогрессия

1; 4; 7; 10; 13; 16; ... вторая