Найдите множество значений функции

y = (2*x^2+2*x+2) / (2*x^2+2*x+1)

Преобразуем к виду:

у = 1 + 1 / (2*x^2+2*x+1).

Исследуем квадратичнкю функцию:

у1 = 2*x^2+2*x+1.

D меньше 0.

Пересечений с осью х - нет.

Минимальное значение принимает в вершине:

при хm = - 1/2 y1m = 1/2 - 1 + 1 = 1/2

Это значение соответствует:

y max = 1 + 1 / (1/2) = 3.

Максимальное значение Y1 не существует и стремится к бесконечности.

В таком случае минимальное значение У стремится к (1 + 1/беск) = 1

Ответ: E (y) : (1; 3]

Решение: y = (2*x^2+2*x+2) / (2*x^2+2*x+1) = (2*x^2+2*x+1+1) / (2*x^2+2*x+1) =

=1+1 / (2*x^2+2*x+1)

(2*x^2+2*x+1) = 2 * (x^2+x+1/4) - 2*1/4+1=2 * (x+1/2) ^2+1/2>=1/2

так как (x+1/2) ^2>=0 для любого действительного х как парная степень выражения неотрицательна

2 * (x+1/2) ^2>=0 для любого действительного х

2 * (x+1/2) ^2+1/2>=0+1/2=1/2 для любого действительного х

0<1 / (2*x^2+2*x+1) <=1 / (1/2) = 2

0<1 / (2*x^2+2*x+1) <=2 для любого действительного х

1=1+0<1+1 / (2*x^2+2*x+1) <=1+2=3 для любого действительного х

1<1+1 / (2*x^2+2*x+1) <=3 для любого действительного х

отсюда множество значений данной функции

y = (2*x^2+2*x+2) / (2*x^2+2*x+1)

лежит от 1 невключительно до 3 включительно