Помогите решить : (x+3) (x+4) (x+5) (x+6) = 3

(x+3) (x+4) (x+5) (x+6) = 3

x^4+18x^3+119x^2+342x+357=0

Разложим на множители x^4+18x^3+119x^2+342x+357:

(x^2+9x+17) * (x^2+9x+21) = 0

x^2+9x+17=0

D=9^2-4*1*17=81-68=13;

x1=V13/2-4.5

x2=-V13/2-4.5

x^2+9x+21=0

D=9^2-4*1*21=81-84=-3

Дискриминант меньше 0, нет корней.

Мне уравнение понравилось.

В общем виде уравнение 4 степени почти не решаются, значит тут что-то попроще.

Обратим внимание, что слева всё время + 1 и "симметризуем" уравнение, записав его от точки, относительно которой эти смещения симметричны, такой точкой, естественно, будет 4.5.

Введем новую переменную

у = (х+4.5), откуда х = у-4.5. Подставим, получим

(у-1.5) (у-0.5) (у+0.5) (у+1.5) = 3

это уже радует, получились разности квадратов, свернём

(у^2-2.25) (y^2-0.25) = 3

это уже биквадратное уравнение, которое можно решить, но мы ленивые, не хотим этого делать, а введём ещё одну замену

z = y^2-0.25, подставим, получим

(z-2) z = 3 ну а это уже детский лепет

z^2 - 2z - 3 = 0

z = 1+-sqrt (1+3) = 1+-2

z1 = - 1 z2 = 3

Теперь раскручиваем всё назад

z1 = - 1 z2 = 3

y1^2 - 0.25 = - 1 y2^2 - 0.25 = 3

y1^2 = - 3/4 y2^2 = 13/4

y11 = i*sqrt (3) / 2 y12 = - i*sqrt (3) / 2 y21 = sqrt (13) / 2 y22 = - sqrt (13) / 2

x = y-9/2

x11 = - 9/2 + i*sqrt (3) / 2 x12 = - 9/2 - i*sqrt (3) / 2 x21 = - 9/2 + sqrt (13) / 2 x22 = - 9/2 - sqrt (13) / 2

Вот мы и нашли все 4 корня уравнения.

Замечание1 Решение в комплексных числах, в действительных останется, естественно, всего 2. Которые справа.

Замечание2 Арифметику на всякий случай перепроверь, мог допустить какую-то описку, пишу прямо в экран.

Успехов!