Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно 20^732. Найдите количество таких прогрессий.

Произведение членов геометрической прогрессии: P=b1^6 * (q^ (1+2+3+4+5)) = = b1^6 * q^15=20^732 Откуда: b1^2*q^5=20^244 = (2*2*5) ^244 = = 2^488 * 5^244 Число является 5 степенью натурального числа, когда его показатель степени делиться на 5. Число делиться на 5 когда кончается на 0 или 5. Рассмотрим 1 случай: степени двоек и пятерок входящих в q^5 оканчивается на нуль: тк 488 и 244 четные, то после вычитания числа оканчивающегося на нолик (оно тоже четное), то все остальные степени четные и следовательно будут содержать в себе квадрат (b1^2). Подсчитаем общее число таких вариантов: для степеней пятерки: 0,10,20,30,40 ... 480 (49). Для двойки: 0, 10,20 ... 240 (25). То есть общее число способов: 49*25, случай (2^0 * 5^0 = 1) (тоже можно считать тк даже при q=1 оно будет прогрессией) Это очень тонкий момент и можно легко запутаться!. 2-й случай: хотя бы один из показателей оканчиваются на 5. В этом случае хотя бы одна из остаточных степеней будет нечетной, то есть полного квадрата не получиться. Значит этот случай невозможен. Вывод: N=49*25=50*50/2 - 25 = 1225 таких геометрических прогрессии.