Докажите что 2^9+2^99 делится на 41

Число 41 не делится ни на 2^9 ни на 2^99

Будем использовать несколько раз формулу суммы кубов:

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

Данное выражение (2⁹ + 2⁹⁹) представим в виде произведения, и если хотя бы один из множителей разделится на 41, то и всё выражение разделится на 41.

2⁹ + 2⁹⁹ = (2³) ³ + (2³³) ³ = (2³ + 2³³) (2⁶ - 2³⁶ + 2⁶⁶) =

= (2³ + (2¹¹) ³) (2⁶ - 2³⁶ + 2⁶⁶) =

= (2 + 2¹¹) (2² - 2¹² + 2²²) (2⁶ - 2³⁶ + 2⁶⁶) =

= 2 (1 + 2¹⁰) (2² - 2¹² + 2²²) (2⁶ - 2³⁶ + 2⁶⁶) =

= 2 (1 + 1024) (4 - 2¹² + 2²²) (2⁶ - 2³⁶ + 2⁶⁶) =

= 2 ∙ 1025 ∙ (4 - 2¹² + 2²²) (2⁶ - 2³⁶ + 2⁶⁶)

Выражение 2⁹ + 2⁹⁹ имеет 4 множителя, один из которых делится на число 41.

1025 : 41 = 25

А если хотя бы один из множителей разделился на 41, то значит и всё выражение 2⁹ + 2⁹⁹ разделится на 41.