Составить уравнение четвертой степени со старшим коэффициентом равным 1 корни которого противоположны корням уравнения x^4+2x^3-16x^2-2x+15=0

Заметив, что х=1 - корень уравнения можно преобразовать : (x-1) * (x^3+3x^2-13x - 15) Теперь заметим, что х=-1 тоже корень.

Преобразуем:

(x-1) * (x+1) * (x^2+2x-15) = (x-1) * (x+1) * ((x+1) ^2-4*4) = (x+1) * (x-1) * (x-3) * (x+5)

Понятно, что уравнение с противоположными корнями:

(x^2-1) * (x^2-2x-15)

Или:

х^4-2x^3-16x^2+2x+15=0 - Это ответ.

Решение можно было получить проще, если сразу заметить, что х=1 и х=-1 корни уравнения.

Тогда выражение представимо в виде (х^2-1) * (x^2-cx-15). Легко подобрать с=2.

По теореме Виета остальные корни разных знаков и они поменяются знаками если вместо с взять (-с). Сделав эту замену получим искомое.