Доказать, что (а³ - а) при любом натуральном "а" делится на 6

Пусть a = 2, тогда

2^3-2 = 8-2=6

6 делится на 6

Пусть a = 3, тогда

3^3-3 = 27 - 3 = 24

24 делится на 6

Очевидно, задача сводится к тому, чтобы доказать, что при любых а выражение а³-а разделится на 2 и на 3

1. а³ - а = а * а * а - а

если а - четное, то а³ - а тоже четное

если а - нечетное, то а³ - нечетное. Если из любого нечетного вычесть

нечетное, то результат будет четным.

Действительно: пусть х - четное и у - четное. Тогда х + 1 - нечетное и

у + 1 - нечетное.

(х + 1) - (у + 1) = х + 1 - у - 1 = х - у - четное по определению

Таким образом, а³ - а - делится на 2 при любых а.

2. а³ - а = а (а² - 1) = а (а - 1) (а + 1) - при любом а данное произведение является произведением трех последовательных чисел (а - 1) ; а; (а + 1)

Из любых трех последовательных чисел одно всегда разделится на 3, следовательно и все произведение этих чисел разделится на 3

Таким образом, мы доказали, что выражение а³ - а делится на 2 и на 3. Следовательно оно разделится на 6