Из точки А, лежащей вне окружности с центром в точке О, к этой окружности проведены две касательные. Докажите, что отрезок, соединяющий точки касания, перпендикулярен отрезку АО.

Пусть точки касания будут В и С. Соединим ВО и СО. Это получились радиусы окр-ти. Тогда треуг-к ОВС равнобедренный и углы при основании равны: <СВО=<ВСО. Но радиусы, проведённые в точку касания, перпендикулярны касательным АВ и АС. Тогда <АВО=<АСО=90. ΔАОВ=ΔАОС (по трем сторонам, т. к. ОВ=ОС, ОА-общая, АВ=АС как отрезки касательных, проведенных из одной точки.) Тогда <АОВ=<АОС. Обозначим точку пересечения ВС и АО через К. Значит ОК (ОА) - биссектриса равнобедренного Δ, а значит и высота. ОА перпенд-на ВС.