Выполняется ли равенство cost a=sin a, при каком-нибудь a?

Да, причем при всех значениях а.

Докажем:

Введем ф-цию: f (t) = a*cos (t) - sin (a)

Ясно, что - 1 ≤ sin (a) ≤ 1 для любого а, так что при |а| > 1 функция в любом случае имеет корни, что значит, что исходное уравнение имеет решение, т. к. а*cos (x) будет больше sin (a). (Собственно этого достаточно, чтобы дать ответ на поставленный вопрос). Как доказать дальше, честно сказать, туплю, но вопрос стоял так: "есть ли такие а ... ?".

Ответ: есть.