Докажите что для любого действительного числа х справедливо неравенство x^2-6x+10>0

Решение задачи может быть произведено несколькими способами. Первый способ - классический. Выделим полный квадрат в этом выражении и посмотрим, к чему дело придёт. Надеюсь, с техникой выделения полного квадрата все знакомы, поэтому не комментирую этот шаг.

x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 * 3x + 9) - 9 + 10 = (x-3) ^2 + 1 - раскройте скобки, проверьте, что я ничего не изменил.

В силу того, что (x-3) ^2 > = 0, имеем, что

(x-3) ^2 + 1 > = 1, то есть все значения этого выражения не меньше 1. Откуда и следует доказываемое равенство.

Либо же можно было просто заметить, что дискриминант трёхчлена x^2 - 6x + 10 отрицательный. Геометрически это означает, что на координатной плоскости парабола эта лежит целиком над осью OX. В силу того, что и ветви этой параболы направлены вверх, видим, что все значения этой параболы будут положительными, что и требовалось доказать. Это второй способ решения.