Вычислите а^4 + b^4 + c^4, зная что a+b+c=0 и a^2+b^2+c^2=1

a + b + c=0 (1)

a^2 + b^2 + c^2=1 (2)

a^4 + b^4 + c^4 - ?

(a + b + c) ^2=0^2

a^2 + b^2 + c^2 + 2 * (ab + ac + bc) = 0

из (2) получим:

2 * (ab + ac + bc) = - 1

ab + ac + bc = - 1/2

(a^2 + b^2 + c^2) ^2 = 1^2

(a^4 + b^4 + c^4) + 2 * (a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2) = 1

a^4 + b^4 + c^4 = 1 - 2 * (a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2) (3)

найдём (a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2) :

ab + ac + bc = - 1/2

(ab + ac + bc) ^2 = 1/4

(a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2) + 2 * (a^2*b*c + a*b^2*c + a*b*c^2) = 1/4

a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2 = 1/4 - 2 * abc * (a+b+c)

Зная (1) :

a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2 = 1/4

Вернёмся к (3) :

a^4 + b^4 + c^4 = 1 - 2 * 1/4 = 1 - 1/2 = 1/2