р-простое число р>3 а) докажите что, р*р-1 деоится на 12

б) р=6 к+-1, к принадлежит N

докажем сначала пункт б)

каждое натуральное число можна записать в виде 6k+1,6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5, (то же самое что 6l-1), 6k+6, где k=0, или k - натуральное (так как при делении на 6 остатки могут быть 0,1,2,3,4,5)

числа вида 6k+2, 6k+4, 6k+6 четные поэтому делятся на 2, но но одно простое число больше 3 на 2 не делится, поэтому среди чисел этого вида нет простых

числа вида 6k+3=3 * (2k+1) делятся на 3, но ни одно число большее 3, на 3 не делится, поэтому среди чисел данного вида нет протых чисел, поэтому простые числа находятся срди чисел вида р=6 к+-1, к принадлежит N, что и требовалось доказать

теперь используя доказанный пункт б) докажем а)

р*р-1 = (p-1) (p+1) - по формуле разности квадратов

рассмотрим два возможных случая

первый р=6k+1, к принадлежит N

тогда

р*р-1 = (6k+1-1) (6k+1+1) = 6k * (6k+2) = 12k * (3k+1), а значит деится на 12

второй p=6k-1

p*p-1 = (6k-1-1) (6k-1+1) = (6k-2) * 6 к=12 к * (3 к-1), а значит делится на 12.

Доказано