1+2+2^2+2^3 + ... + 2^77 делится ли это число на 7 без остатка?

разбиваем слагаемые на группы

1+2+2^2 = 1+2+4=7 n=0

2^3+2^4+2^5=2^3 (1+2+2^2) = 2^3*7 n=1

2^6+2^7+2^8=2^6 (1+2+2^2) = 2^6*7 n=2

2^9+2^10+2^11=2^9 (1+2+2^2) = 2^9*7 n=3

группа из 3-х последовательных членов

каждая группа может быть представлена в виде произведения 2-х множителей, один из которых 7

закономерность 2^ (3n) * 7

3n <77

n=77/3 = 25+2/3

последняя группа

2^75+2^76+2^77=2^75 (1+2+2^2)

все группы полные и делятся на 7

заданное число делится на 7 без остатка