Известно, что х1, x2, x3 - различные корни уравнения х^3-x-1=0. Составьтеуравнение наименьшей степени, корнями которого являются числа х+1/х1-1; х2+1/х2-1; х3+1/х3-1

Исходное уравнение

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

x^3 - x - 1 = x^3 + 0x^2 - x - 1 = 0

a = 1; b = 0; c = - 1; d = - 1

По теореме Виета для кубического уравнения

{ x1 + x2 + x3 = - b/a = 0

{ x1*x2 + x1*x3 + x2*x3 = c/a = - 1

{ x1*x2*x3 = - d/a = 1

Конечное уравнение будет иметь вид

(x - (x1+1) / (x1-1)) * (x - (x2+1) / (x2-1)) * (x - (x3+1) / (x3-1)) = 0

Раскрываем скобки

[ (x1-1) * x - (x1+1) ] / (x1-1) * [ (x2-1) * x - (x2+1) ] / (x2-1) * [ (x3-1) * x - (x3+1) ] / (x3-1) = 0

[ (x1*x-x-x1-1) (x2*x-x-x2-1) (x3*x-x-x3-1) ] / [ (x1-1) (x2-1) (x3-1) ] = 0

Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет.

(x1*x2*x^2 - x2*x^2 - x1*x2*x - x2*x - x1*x^2 + x^2 + x1*x + x - x1*x2*x + x2*x + x1*x2 + x2 - x1*x + x + x1 + 1) (x3*x - x - x3 - 1) = 0

[x^2 (x1*x2-x2-x1+1) + x (-x1*x2-x2+x1+1-x1*x2+x2-x1+1) + (x1*x2+x2+x1+1) ]*

(x (x3-1) - (x3+1)) = 0

Приводим подобные

[x^2 (x1*x2 - x2 - x1 + 1) + x (-2x1*x2 + 2) + (x1*x2 + x2 + x1 + 1) ] *

* (x (x3 - 1) - (x3+1)) = 0

Раскрываем скобки окончательно

x^3 * (x1*x2*x3 - x2*x3 - x1*x3 + x3 - x1*x2 + x2 + x1 - 1) +

+ x^2 * (-x1*x2*x3 - x1*x2 + x2*x3 + x2 + x1*x3 + x1 - x3 - 1) +

+ x^2 * (-2x1*x2*x3 + 2x3 + 2x1*x2 - 2) + x * (2x1*x2*x3 + 2x1*x2 - 2x3 - 2) +

+ x (x1*x2*x3 + x2*x3 + x1*x3 + x3 - x1*x2 - x2 - x1 - 1) -

- (x1*x2*x3 + x2*x3 + x1*x3 + x3 + x1*x2 + x2 + x1 + 1) = 0

Упрощаем

x^3 * (x1*x2*x3 - (x1*x2+x1*x3+x2*x3) + (x1+x2+x3) - 1) +

+ x^2 * (-3x1*x2*x3 + (x1*x2+x1*x3+x2*x3) + (x1+x2+x3) - 3) +

+ x * (3x1*x2*x3 + (x1*x2+x1*x3+x2*x3) - (x1+x2+x3) - 3) -

- (x1*x2*x3 + (x1*x2+x1*x3+x2*x3) + (x1+x2+x3) + 1) = 0

Подставляем значения из теоремы Виета

x^3 * (1 - (-1) + 0-1) + x^2 * (-3 + (-1) + 0-3) + x (3 + (-1) - 0-3) - (1-1+0+1) = 0

Окончательно уравнение будет такое:

x^3 - 7x^2 - x - 1 = 0