На графике функции у=х^2/8-x/2+6 найдите такую точку А, чтобы площадь треугольника А, О (0; 0), В (6; 3) была наименьшей и найдите эту площадь.

Площадь ΔOAB равна половине произведения основания OB на высоту H, опущенную из A на OB. OB не меняется, поэтому нужно минимизировать высоту. Для нахождения высоты можно воспользоваться формулой расстояния от точки до прямой, но, боюсь, ее не все знают. Лучше поступим так: найдем на параболе точку, касательная в которой параллельна OB. Эта точка и будет требуемой точкой A.

y'=x/4 - 1/2; приравниваем к тангенсу угла наклона OB, равному 1/2:

x/4-1/2=1/2; x=4; y=16/8-4/2+6=6; A (4; 6)

Осталось найти площадь. Из всех возможных способов выберем "самый школьный". Рисуем прямоугольник, внутри которого лежит наш треугольник, и отсекаем от него все лишнее. Прямоугольник ограничен осями координат, прямой x=6 и прямой y=6. Его площадь равна 36. Три "лишних" треугольника имеют площади

(1/2) ·4·6=12; (1/2) ·6·3=9; (1/2) ·2·3=3, в сумме 24. Вычитая из 36 лишние 24, получаем ответ 12