Не вычисляя корней уравнения 3x2-5x+1=0

составить квадратное уравнение корнями которого являются числа 2 х1+1 и 2 х2+1

x1 - x первое x2-x второе

1) Выражение x12+x22 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x1+x2=-p;

(x1+x2) 2 = (-p) 2; раскрываем скобки: x12+2x1x2 + x22=p2; выражаем искомую сумму: x12+x22=p2-2x1x2=p2-2q. Мы получили полезное равенство: x12+x22=p2-2q.

2) Выражение x13+x23 представим по формуле суммы кубов в виде:

(x13+x23) = (x1+x2) (x12-x1x2+x22) = - p· (p2-2q-q) = - p· (p2-3q).

Еще одно полезное равенство: x13+x23=-p· (p2-3q).

Примеры.

3) x2-3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x12+x22.

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения

x1+x2=-p=3, а произведение x1∙x2=q = - 4. Применим полученное нами (в примере 1) равенство:

x12+x22=p2-2q. У нас - p=x1+x2=3 → p2=32=9; q=x1x2 = - 4. Тогда x12+x22=9-2· (-4) = 9+8=17.

Ответ: x12+x22=17.

4) x2-2x-4=0. Вычислить: x13+x23.

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x1+x2=-p=2, а произведение x1∙x2=q = - 4. Применим полученное нами (в примере 2) равенство: x13+x23=-p· (p2-3q) = 2· (22-3· (-4)) = 2· (4+12) = 2·16=32.

Ответ: x13+x23=32.

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно "привести", разделив почленно на первый коэффициент.

5) 2x2-5x-7=0. Не решая, вычислить: x12+x22.

Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x2-2,5x-3,5=0.

По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно - 3,5.

Решаем так же, как пример 3), используя равенство: x12+x22=p2-2q.

x12+x22=p2-2q = 2,52-2∙ (-3,5) = 6,25+7=13,25.

Ответ: x12+x22=13,25.

6) x2-5x-2=0. Найти:

Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через - p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1) : x12+x22=p2-2q.

В нашем примере x1+x2=-p=5; x1∙x2=q = - 2. Подставляем эти значения в полученную формулу:

7) x2-13x+36=0. Найти:

Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.

У нас x1+x2=-p=13; x1∙x2=q=36. Подставляем эти значения в выведенную формулу:

Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант - "неудобное" число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!