Решить систему уравнений

Logx по основании 5 - log yпо основанию 5 = log (y+3) по основанию 5

x-y=4

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов, поэтому первое уравнение преобразуем:

log (5) (x/y) = log (5) (y + 3).

При равных основаниях логарифмируемые выражения равны:

х/у = у + 3.

Применим подстановку: х = у + 4.

(у + 4) / у = у + 3.

у + 4 = у ² + 3 у.

Получили квадратное уравнение:

у² + 2 у - 4 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:

D=2^2-4*1 * (-4) = 4-4 * (-4) = 4 - (-4*4) = 4 - (-16) = 4+16=20; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

y₁ = (√20-2) / (2*1) = (√20/2) - (2/2) = (√20/2) - 1 = √5 - 1 ≈ 1,236068; y₂ = (-√20-2) / (2*1) = - √20/2-2/2=-√20/2-1≈ - 3,236068 это значение по ОДЗ отбрасываем.

Тогда х = у + 4 = √5 - 1 + 4 = √5 + 3 ≈ 5,236068.

Ответ: х = √5 - 1 ≈ 1,236068;

у = √5 + 3 ≈ 5,236068.