Доказать тождества:

1. (A х В) • rot С = В • (A• ∇) • C - А • (B • ∇) • C;

2. (A х ∇) х В = (A• ∇) • B + А х rotB - AdivB;

A, B - вектора

∇ - набла

1.

[A x B] * rot C = [A x B] * [∇ x C] = {смешанное произведение} =

([A x B], ∇, C) = {циклическая перестановка не меняет результат} =

(C, [A x B], ∇) = С * [[A x B] x ∇] = C * [∇ x [B x A]] =

{формула Лагранжа для двойного векторного произведения} =

C * (B (∇*A) - A (∇*B)) = B (A*∇) C - A (B*∇) C

2.

[[A x ∇] x B] = [B x [∇ x A]] = {формула Лагранжа} =

∇ (A*B) - A (∇*B) =

{ [A x [∇ x B]] = ∇ (A*B) - B (∇*A) - - > ∇ (A*B) = [A x [∇ x B]] + B (∇*A) } =

[A x [∇ x B]] + B (∇*A) - A (∇*B) = [A x rot B] + B div A - A div B