Докажите, что три неравных между собой члена не могут одновременно составлять арифметическую и геометрическую прогрессии.

Пусть арифметическая прогрессия будет

а1, а2=а1+d, а3=а2+d=a1+2d

Те же члены но через геометрическую

а1, а2=а1*q, а3=а2*q=а1*q²

Так как а2=а2 то

а1+d=а1*q Получаем d=а1*q-а1=а1 * (q-1)

Так как и а3=а3 то

a1+2d=а1*q² Получаем 2d=а1*q²-а1=а1 * (q²-1) или d=а1 * (q²-1) / 2

Приравниваем d

а1 * (q-1) = а1 * (q²-1) / 2

q-1 = (q²-1) / 2

2q-2=q²-1

q²-2q+1=0

Д=4-4=0

q=2/2=1

Значит единственный вариант а2=а1*q=а1, а3=а2*q=а2=а1

Когда все члены прогрессии равны

Противоречие с условием.

Значит мы доказали что члены не могут одновременно составлять разные прогресии