Пусть N-наим. число, все остатки от деления на 2,4,6 ...,100 различны. Какой остаток дает N при делении на 100?

Если бы N было нечетным, то остатки от деления на 2, 4, ... тоже были только нечетные. И значит эти остатки должны быть 1, 3, ... 99. Но тогда число N-1 имеет остатки 0,2, ... 98. То. есть они тоже все разные, а число N-1 меньше N. Т. е. получается, что нечетное N не может быть наименьшим числом с разными остатками. Значит наименьшее такое число должно быть четным.

Если N - четное, то остатки от деления на 2, 4, ... тоже только четные. И значит остаток от деления на 2 может быть только 0, остаток от деления на 4 - только 2 (т. к. 0 уже был), от деления на 6 - только 4 (т. к. 0 и 2 уже были) и т. д ... Тогда остаток от деления на 100 равен 98. Ответ: 98.