Вычислить сумму: 1 х2+2 х5+3 х8 + ... + nх (3 хn-1)

Можно доказать по индукции, если угадать ответ, и если знаете как доказывать по индукции. Так вот, докажем, что ответ здесь (n+1) n^2.

При n=1, эта формула верна.

Предполжоим, что она верна и для произвольного n. Тогда докажем, что она верна и для n+1:

Подставим в эту сумму n+1 вместо n. Получим:

1*2+2*5 + ... + n * (3n-1) + (n+1) * (3 (n+1) - 1). Т. к. мы предположили что для n наша формула верна, то эта новая сумма n+1 слагаемого равна

(n+1) * n^2 + (n+1) (3n+2) = (n+1) (n^2+3n+2). = ((n+1) + 1) (n+1) ^2,

т. к. n^2+3n-2 = (n+1) (n+2). Т. е. получилось, что сумма n+1 слагаемого равна нашей формуле если в нее подставить n+1. Итак по индукции сумма всего выражения равна (n+1) * n^2.