Разложите многочлен на множители

Формулы сокращенного умножения

a2 - b2 = (a - b) (a + b)

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Примеры применения формул сокращенного умножения для разложения на множители:

1) a4 - 16 = (a2 - 4) (a2 + 4) = (a - 2) (a + 2) (a2 + 4).

2) c6 - 1 = (с3 - 1) (с3 + 1) = (с - 1) (с2 + с + 1) (с + 1) (с2 - с + 1).

3) a8 - 1 = (a4 - 1) (a4 + 1) = (a2 - 1) (a2 + 1) (a4 + 1) = (a - 1) (a + 1) (a2 + 1) (a4 + 1).

Пример комбинации вынесения общего множителя и группировки слагаемых:

Пример 1. Разложение многочлена на множители 10ay - bx + 2ax - 5by.

10ay - bx + 2ax - 5by = (10ay - 5by) + (2ax - bx) = 5y (2a - b) + x (2a - b) = (2a - b) (5y + x).

Пример 2. Разложение многочлена на множители 16ab2 - 10c3 + 32ac2 - 5b2c

16ab2 - 10c3 + 32ac2 - 5b2c = (16ab2 + 32ac2) - (5b2c + 10c3) = 16a (b2 + 2c2) - 5c (b2 + 2c2) = (b2 + 2c2) (16a - 5c).

Примеры комбинаций вынесения общего множителя, группировки слагаемых и формул сокращенного умножения для разложения многочленов на множители.

1) y3 + 16 - 4y - 4y2 = (y3 - 4y) + (16 - 4y2) = (y3 - 4y) - (4y2 - 16) = y (y2 - 4) - 4 (y2 - 4) =

= (y2 - 4) (y - 4) = (y - 2) (y + 2) (y - 4).

2) (a - b) 3 - a + b = (a - b) 3 - (a - b) = (a - b) ((a - b) 2 - 1) = (a - b) (a2 - 2ab + b2 - 1).

3) x2 - 6xy - 49 + 9y2 = (x2 - 6xy + 9y2) - 49 = (x - 3y) 2 - 49 = (x - 3y - 7) (x - 3y + 7).

4) c2 + 2c - d2 - 2d = (c2 - d2) + (2c - 2d) = (c - d) (c + d) + 2 (c - d) = (c - d) (c + d + 2).

Примеры нестандартных разложений многочленов на множители.

Одно или несколько слагаемых представляется в виде суммы или разности, после чего можно применять группировку или формулы сокращенного умножения.

Пример 1. Разложение многочлена на множители y2 - 14y + 40.

y2 - 14y + 40 = y2 - 14y + 49 - 9 = (y2 - 14y + 49) - 9 = (y - 7) 2 - 32 = (y - 7 - 3) (y - 7 + 3) = (y - 10) (y - 4).

Пример 2. Разложение многочлена на множители x2 + 7x + 12.

x2 + 7x + 12 = x2 + 3x + 4x + 12 = (x2 + 3x) + (4x + 12) = x (x + 3) + 4 (x + 3) = (x + 3) (x + 4).

Пример 3. Разложение многочлена на множители x2 + 8x + 7.

x2 + 8x + 7 = x2 + 7x + x + 7 = (x2 + 7x) + (x + 7) = x (x + 7) + (x + 7) = (x + 7) (x + 1).

Пример 4. Разложение многочлена x2 + x - 12 на множители.

x2 + x - 12 = x2 + 4x - 3x - 12 = (x2 + 4x) - (3x + 12) = x (x + 4) - 3 (x + 4) = (x + 4) (x - 3).

Пример 5. Разложение многочлена на множители x2 - 10x + 24.

x2 - 10x + 24 = x2 - 2*5 x + 25 - 1 = (x2 - 2*5 x + 25) - 1 = (x - 5) 2 - 1 = (x - 5 - 1) (x - 5 + 1) = (x - 6) (x - 4).

Пример 6. Разложение многочлена на множители x2 - 13x + 40.

x2 - 13x + 40 = x2 - 10x - 3x + 25 + 15 = (x2 - 10x + 25) - (3x - 15) = (x - 5) 2 - 3 (x - 5) =

= (x - 5) (x - 5 - 3) = (x - 5) (x - 8).

Пример 7. Разложим на множители многочлен x2 + 15x + 54.

x2 + 15x + 54 = x2 + (12x + 3x) + (36 + 18) = (x2 + 12x + 36) + (3x + 18) = (x + 6) 2 + 3 (x + 6) =

= (x + 6) (x + 6 + 3) = (x + 6) (x + 9).

Пример 8. Разложение многочлена x4 + 3x2 + 4 на множители.

x4 + 3x2 + 4 = x4 + (4x2 - x2) + 4 = (x4 + 4x2 + 4) - x2 = (x2 + 2) 2 - x2 = (x2 + 2 - x) (x2 + 2 + x) =

= (x2 - x + 2) (x2 + x + 2).

Пример 9. Разложение многочлена на множители x4 + x2 + 1.

x4 + x2 + 1 = x4 + (2x2 - x2) + 1 = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1) 2 - x2 = (x2 + 1 - x) (x2 + 1 + x) =

= (x2 - x + 1) (x2 + x + 1).