найти точки экстремума функции y=xe^x

Сначала нужно найти производную. Она будет равна (e^x) + x * (e^x)

Найдем критические точки функции (это точки, в которых функция не существует или равна нулю) :

(e^x) + x * (e^x) = 0

e^x (1+x) = 0

e^x=0 решений нет

1+х=0

х=-1

Т. е. возможен экстремум в точке х=-1.

Теперь нужно узнать знак производной слева и справа от х=-1 (сначала берешь любую точку из промежутка (-беск.; -1) и вычисляешь значение производной, затем любую точку из промежутка (-1; +беск.) и также вычисляешь значние производной).

Значение производной на первом промежутке отрицательно, следовательно, на нем функция убывает, на втором промежутке значение производной положительно, следовательно, на нем функция возрастает.

Производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, х=-1 минимум функции.