Прямая x+y=c, где с - некоторое число, касается гиперболы y=1/x в точке с положительными координатами. Найдите с.

Выразим у из уравнения прямой: у=-х+с, с другой стороны у=1/х

Значит - х+с=1/х.

Умножаем обе части на х и получаем квадратное уравнение:

-х2+сх=1

х2-сх+1=0 Так как точка касания у нас одна, то уравнение должно иметь один корень (точнее, два одинаковых), т. е. дискриминант уравнения должен быть равен 0. Формула дискриминанта D=b2-4 ас (общий вид квадратного уравнения ах2+bх+с=0, здесь а и b коэффициенты, с - свободный член)

D=с2-4=0, отсюда с=-2, с=2

Подставим значения с в наше квадратное уравнение, найдём х, а затем у:

1) с=-2, тогда х2+2 х+1=0, (х+1) 2=0, х=-1, у=1-2=-1.

Получилась точка с координатами (-1; -2) - не удовлетворяет условиям задачи

2) с=2, тогда х2-2 х+1=0, (х-1) 2=0, х=1, у=-1+2=1.

Получилась точка с координатами (1; 1) - условия выполнено - точка имеет положительные координаты.

Значит, с=2

х+у=с у=1:х

у=с-х у=1:х

с-х=1:х * х

сх-х^2-1=0

x^2-сх+1=0

D=с^2-4 т. к. прямая и гипербола касаются в одной положительной точке, то D=0

с^2-4=0

с=2 с=-2 - не удвл. условие задачи

ответ: с=2