Сумма третьего и пятого членов возрастающей геометрической прогрессии равна 30, их произведение равно 81. Найдите знаменатель прогрессии.

Пусть b3 и b5 - третий и пятый члены прогрессии, q - её знаменатель. так как b5=b3*q², то получаем систему уравнений:

b3+b3*q²=b3 * (1+q²) = 30

b3*b3*q² = (b3*q) ²=81

Из первого уравнения находим b3=30 / (1+q²) Тогда b3²=900 / (1+q²) ². Подставляя это выражение во второе уравнение, получим

900*q² / (1+q²) ²=81, q² / (1+q²) ²=81/900. Отсюда либо q / (1+q²) = √ (81/900) = 9/30=3/10, либо q / (1+q²) = - √ (81/900) = - 3/10.

Первое уравнение приводится к виду 3*q²-10*q+3=0, решая которое находим q=3 либо q=1/3. Но так как по условию наша прогрессия - возрастающая, то q>1. Значит, q=3. Второе уравнение приводится к виду 3*q²+10*q+3=0, оно имеет решения q=-1/3 и q=-3. Но так как q>1, то эти решения не годятся. Ответ: q=3.