1) Докажите, что всякое простое число, большее3, имеет вид 6 к+1 или 6 к+5, где к=0 или к принадлежит N

2) Решите уравнение ху=3 (х+у) - 5, где х у - простые числа.

Не олимпиадные

1) Пусть число число x, при делений на 6 очевидно 6x+y. где у - остаток, чтобы число 6x+y было простым перед ним должна быть какое то четное число то есть кратна 2n, так как при делений числа на 6 на простое число должно быть в добавок то есть у - какое то то нечетное число так как четное + четное = четное, и не будет никогда простым, так как при нечетным есть шанс что будет простым числом, то есть мы ограничели могу входит уже такие цифры как 1,3,5,7,9. но так как число наше простое то при делений на 2 всегда будет остаток 1, и при делений на 3 остаток 5, это возможно при y=1 и 5

2) xy=3 (x+y) - 5

xy + 5 = 3 (x+y)

просто + простое дает четное кроме 2 и 3

тогда 3 (x+y) четное

значит справа xy+5 четное должно быть но 5 нечетное, значит xy нечетное

3 (x+y) - xy=5

x=6a+1

y=6b+1

3 (6a+6b+2) - (6a+1) (6b+1) = 5

12b-36ab+12a+5=5

12b-36ab+12a=0

12 (b-3ab+a) = 0

b+a-3ab=0

b+a=3ab

a=2/3

и при a=2/3 и b=2/3

х и у = 5

или можно размышлять вот так

xy=3 (x+y) - 5

xy=3x+3y-5

xy-3y=3x-5

y (x-3) = 3x-5

y=3x-5 / x-3

пдобором

(1, 2), (2, 1), (4, 7), (5, 5), (7, 4)