Функция f (x) = 12x-x³

найти

а) промежутки возраст. и убыв.

б) точки мах и min

в) наибольшее и наименьшее значение на [-1; 3]

Дана ф ункция f (x) = 12x-x³

найти

а) промежутки возрастания и убывания.

Находим производную.

y' = 12 - 3x ² и приравняем нулю.

12 - 3x² = 3 (4 - x²) = 0.

Отсюда находим 2 критические точки: х = 2 и х = - 2.

Имеем 3 промежутка монотонности: (- ∞; - 2), (-2; 2) и (2; + ∞).

На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.

x = - 3 - 2 0 2 3

y' = - 15 0 12 0 - 15.

Функция возрастает на промежутке (-2; 2),

убывает на промежутках (-∞; - 2) и (2; + ∞).

б) точки мах и min.

Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

В точке х = - 2 минимум функции,

в точке х = 2 максимум функции.

в) наибольшее и наименьшее значение на [-1; 3].

Минимум на этом промежутке в точке х = - 1, у = 12 * (-1) - (-1) ³ = - 11.

Максимум по пункту б) в точке х = 2.