Найдите восьмой член арифметической прогрессии, если известно, что при делении тринадцатого члена на третий получается 5, а при делении пятнадцатого члена на четвёртый получается 4 и в остатке 2.

a13 = a1+12d; a3 = a1+2d = > a13 / a3 = (12d+a1) / (2d+a1), a13 / a3 = 5 (по условию), значит (a1 + 12d) / (a1 + 2d) = 5;

a15 = a1 + 14d; a4 = a1 + 3d = > a15 = 4 * a4 + 2 (по условию) = > a1 + 14d = 4 (a1 + 3d) + 2

Так как выполняются оба условия, получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

{ (a1 + 12d) / (a1 + 2d) = 5 { a1 + 12d = 5 (a1 + 2d) { a1 + 12d = 5a1 + 10d

a1 + 14d = 4 (a1 + 3d) + 2 a1 + 14d = 4a1 + 12d + 2 4a1 + 12d - a1 - 14d = - 2

{ a1 + 12d - 5a1 - 10d = 0 { - 4a1 + 2d = 0 { - a1 = - 2 { a1 = 2 { a1 = 2

3a1 - 2d = - 2 3a1 - 2d = - 2 3a1 - 2d = - 2 3*2 + 2 = 2d 6 + 2 = 2d

{ a1 = 2

d = 4 так как a8 = a1 + 7d, a8 = 2 + 7*4 = > a8 = 2 + 28 = > a8 = 30

Ответ: восьмой член арифметической прогрессии равен 30.