Докажите что если k целое число то тогда нету такого числа k, при котором и x и y были бы целыми. x = (5k-3) / 4, y = (7k-2) / 6.

1) x = (5k-3) / 4

2) y = (7k-2) / 6

Выразим из данных двух равенств k:

1) x = (5k-3) / 4

4 х=5k-3

4x+3=5k

k = (4 х+3) / 5

2) y = (7k-2) / 6

6y=7k-2

6y+2=7k

k = (6 у+2) / 7

Приравняем найденные k:

(4 х+3) / 5 = (6 у+2) / 7

Преобразуем выражение и выразим х через у:

(4 х+3) ∙7 = (6 у+2) ∙5

28 х+21 = 30 у+10

28 х=30 у+10-21

28 х=30 у-11

х = (30 у-11) / 28

По условию х и у должны быть целыми числами. Если у целое, то 30 у оканчивается на цифру 0, следовательно, 30 у-11 оканчивается на 9, если у положительное число, и на 1, если у целое отрицательное или нуль. Но число, оканчивающееся на 9 или на 1 - нечётное, оно не делится нацело на чётное число 28, тогда х - не является целым числом. Одновременно х и у не могут быть целыми.

Если бы х и у были целыми, то число 6y-4 х тоже было бы целым и вдобавок четным. Но 6 у-4x = (7k-2) - (5k-3) = 2k+1, что очевидно является нечетным числом. Противоречие, значит х и у не могут оба быть целыми.