Может ли у каждого из учащихся в классе быть ровно трое друзей в этом классе,

если в классе: 1) 25 учащихся; 2) 18 учащихся?

Обозначим учеников точками на плоскости, а дружеские связи отрезками, соединяющими эти точки. Пусть в классе n учеников. Т. к. из каждой точки выходит ровно 3 отрезка и каждый отрезок связывает 2 точки, то количество отрезков равно 3n/2.

1) Если n=25, то 3*25/2 не является целым числом, поэтому в классе не могло быть 25 учеников.

2) Если n=18, то 3*18/2=27. Т. е. должно быть 27 отрезков. Но это еще не доказывает, что 18 точек можно связать 27 отрезками так, что из каждой точки выходит ровно 3 отрезка, поэтому предъявим такое расположение. Поместим точки в вершинах выпуклого 18 угольника, пронумеруем их по порядку от 1 до 18, и нарисуем стороны этого 18-угольника. В результате, каждая его вершина будет связана с двумя соседними, т. е. из каждой вершины выходит ровно 2 отрезка. Осталось соединить вершины 9 диагоналями так, чтобы из каждой вершины выходила ровно одна диагональ. Т. к. количество точек четное, то это возможно: например соединяем точки так: [1,10], [2,11], [3,12], ..., [9,18]. Видим, что это действительно дает диагонали, т. к. в каждой паре разница между номерами не равна 1. При этом каждая вершина участвует по одному разу. Понятно, что это работает и для любого четного n.