Пусть неотрицательные числа x, y, z связаны соотношением x+y+z=1. Докажите, что xy+yz+zx≤1/3.

x^2+y^2>=2xy (неравенство Коши - между среднем арифмитическим и средним геометрическим или из (x-y) ^2>=, x^2-2xy+y^2>=0, x^2+y^2>=2xy)

y^2+z^2>=2xz

x^2+z^2>=2xz

сложив

2 (x^2+y^2+z^2) >=2 * (xy+yx+zx)

сократив на 2

x^2+y^2+x^2>=xy+yx+zx (*)

по формуле квадарата тричлена, и исполльзуя неравенство (*)

(x+y+z) ^2=x^2+y^2+z^2+2 (xy+zy+zx) >=xy+xz+xz+2 (xy+zx+xz) = 3 (xy+yz+zx)

подставляя данное условие

1^2>=3 (xy+yz+zx) или

1>=3 (xy+zx+zy)

или xy+yz+zx≤1/3. что и требовалось доказать