Натуральные числа m и n удовлетворяют условию НОД (m, n) = 1.

Какое наибольшее значение может принимать НОД (20m + n, 30n + m) ?

Пусть x = 20m + n; y=30n + m и d=НОД (x, y). Надо найти максимально возможное значение d. Т. к. х и у делятся на d, то число 30x-y=30 (20m+n) - (30n+m) = 599m тоже делится на d. Аналогично, 20 у-х=20 (30n+m) - (20m+n) = 599n делится на d. Т. к. m и n взаимно просты, то d - обязано быть делителем числа 599, т. е. d≤599. При m=29, n=19 получим 30n+m=599 и 20m+n=599, т. е. d=599. Итак, ответ: 599.