Решите систему: cos^3 (x) - sin^3 (x) = cos2x

0<=x< = 3pi/2

cos³x - sin³x = cos 2x

0 ≤ x ≤ 3*π/2

(cos x - sin x) * (cos²x + cos x * sin x + sin²x) = (cos x - sin x) * (cos x + sin x)

1) cos x - sin x = 0

sin x = cos x

tg x = 1

x = π/4 + π * n

2) 1 + cos x * sin x = cos x + sin x

Поскольку (cos x + sin x) ² = cos²x + 2 * sin x * cos x + cos²x = 1 + 2 * sin x * cos x

то sin x * cos x = ((cos x + sin x) ² - 1) / 2

Положив cos x + sin x = y, получаем уравнение

1 + (у² - 1) / 2 = y

2 + y² - 1 - 2 * y = 0

y² - 2 * y + 1 = 0

(y - 1) ² = 0

у = 1

Получаем cos x + sin x = 1

√ 2 * cos (x - π/4) = 1

cos (x - π/4) = 1 / √ 2

x - π/4 = ± π / 4 + 2 * π * m

x = π/4 ± π / 4 + 2 * π * m

Интервалу [ 0; 3 * π / 2] принадлежат следующие значения х

х₁ = 0 х₂ = π/4 x₃ = π/2 x₄ = 5*π/4