В круг радиуса 6 вписан правильный треугольник. В круг наудачу брошена точка. Определите вероятность того, что точка окажется внутри треугольника.

P = площадь_треугольника/площадь_круга.

площадь_круга = п * (R^2),

R=6.

Найдем площадь треугольника. Т. к. треугольник правильный, то медианы, высоты, биссектрисы его все одинаковы (одной длины). И точки пересечения медиан, биссектрис и высот сходятся в одну точку.

Поэтому (т. к. медианы точкой пересечения делятся 2 к 1 считая от вершины) (2/3) медианы = радиусу описанной окружности.

тогда медиана = (3/2) * R, но медиана является и высотой этого треугольника. Сторону треугольника = а, найдем по теореме Пифагора

H^2 + (a/2) ^2 = a^2;

H^2 = (a^2) - (a^2/4) = (3/4) * a^2;

H = (3/2) * R;

((3/2) * R) ^2 = (3/4) * a^2;

(9/4) * (R^2) = (3/4) * a^2;

3*R^2 = a^2;

a = R*sqrt (3) ;

S = (1/2) * a*H = (1/2) * R*sqrt (3) * (3/2) * R = (R^2) * (3/4) * sqrt (3).

S = (36) * (3/4) * sqrt (3) = 27*sqrt (3).

P = 27*sqrt (3) / (п*36) = (3*sqrt (3) / (4 п).