Найдите наибольшее значение функции

y = (x-3) ^2 (1-x) + 2

Решение

y = (x-3) ² (1-x) + 2

Находим первую производную функции:

y' = (-x+1) * (2x-6) - (x-3) ²

или

y' = (- 3x+5) * (x-3)

Приравниваем ее к нулю:

(-3x+5) * (x-3) = 0

-3x + 5 = 0

x₁ = 5/3

x - 3 = 0

x₂ = 3

Вычисляем значения функции

f (5/3) = 22/27

f (3) = 2

Ответ: fmin = 22/27; fmax = 2

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

y'' = - 6x+14

Вычисляем:

y'' (5/3) = 4 > 0

значит эта точка - точка минимума функции.

y'' (3) = - 4 < 0 - значит точка x = 3 точка максимума функции.