ABC - правильный треугольник, а О - точка пересечения высот. Докажите, что ОА + ОВ+ОС = 0

Так как АВС правильный треугольник, то точка О не только точка пересечения высот, но и точка пересечения медиан (по свойству медианы-биссектрисы-высоты равнобедренного треугольника).

Далее как известно медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1,

Пусть АМ, ВК, СН - медианы

тогда (векторы!) ОА+ОВ+ОС=-2/3 (AM+BK+CH) =

используем свойство вектора медианы

-2/3 * (1/2 (AB+AC) + 1/2 (BA+BC) + 1/2 (CA + CB)) = - 2/3*1/2 * (AB+BA+AC+CA+BC+CB) = - 2/3*1/2 * 0=0, что и требовалось доказать

Доказано