Задача Ибн Сины. если число будучи разделено на 9, дает остаток 1 или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает остаток 1. Докажите.

Если число (обозначим его А) даёт такие остатки, то его можно выразить двумя случаями:

1) A=9*x+1

2) A=9*x+8

Возведём в квадрат оба случая:

1) A^2 = (9x+1) ^2 = 81*x^2 + 2*9*x + 1 = 81*x^2 + 18*x + 1

2) A^2 = (9x+8) ^2 = 81*x^2 + 2*8*9*x+64 = 81*x^2 + 144*x+64

Теперь преобразуем эти записи так, чтобы увидеть, какая часть из них делится на 9, а какая нет:

1) 81*x^2 + 18*x + 1 = 9 * (9*x^2+2*x) + 1

2) 81*x^2 + 144*x + 64 = 9 * (9*x^2+16*x) + 63 + 1 = 9 * (9*x^2+16*x+7) + 1

Мы видим, что в обоих случаях квадрат записывается в виде 9*выражение+1 = а значит, остаток от деления квадрата на 9 будет равен 1.