1/3 14/5 8/3 25/7 найти предел N член цепи в виде формулы

Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел {an} называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1.

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:

Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением

Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен.

В противном случае прогрессия расходится.

Пусть представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к, если знаменатель |q| 1.

Пример 1

Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...

Решение.

Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем

Пример 2

Найти сумму ряда.

Решение.

Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q = - 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна

Пример 3

Найти сумму ряда

Решение.

Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен. Поскольку сумма геометрической прогрессии выражается формулой

то получаем следующий результат:

Пример 4

Выразить бесконечную периодическую дробь 0,131313 ... рациональным числом.

Решение.

Запишем периодическую дробь в следующем виде:

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, получаем

Пример 5

Показать, что

при условии x > 1.

Решение.

Очевидно, что если x > 1, то. Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу, левую часть можно записать в виде

что доказывает исходное соотношение.

Пример 6

Решить уравнение

Решение.

Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Тогда уравнение принимает вид

Находим корни квадратного уравнения:

Поскольку |x| < 1, то решением будет.

Пример 7

Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Решение.

Используем формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии