Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки М (2; 3; -5) на плоскость 4 х-2 у+5z-12=0

Инструкция 1 Первый случай. Дана прямая у=kx+b на плоскости. Требуется найти уравнение перпендикулярной ей прямой, проходящей через точку M (m, n). Уравнение этой прямой ищите в виде y=cx+d. Используйте геометрический смысл коэффициента k. Это тангенс угла наклона α прямой к оси абсцисс k=tgα. Тогда с=tg (α+π/2) = - ctgα=-1/tgα=-1/k. На данный момент найдено уравнение перпендикулярной прямой в виде y = - (1/k) x+d, в котором осталось уточнить d. Для этого используйте координаты заданной точки М (m, n). Запишите уравнение n = - (1/k) m+d, из которого d=n - (1/k) m. Теперь можно дать ответ y = - (1/k) x+n - (1/k) m. Существуют и другие виды уравнений плоской прямой. Поэтому есть и другие способы решений. Правда, все они легко преобразуются друг в друга. 2

Пространственный случай. Пусть известная прямая f задана каноническими уравнениями (если это не так, приведите их к каноническому виду). f: (x-x0) / m = (y-y0) / n = (z-z0) / p, где М0 (x0, y0, z0) - произвольная точка этой прямой, а s={m, n, p} - ее направляющий вектор. Заданная точка М (a, b, c). Сначала найдите плоскость α, перпендикулярную прямой f, содержащую М. Для этого используйте одну из форм общего уравнения прямой A (x-a) + B (y-b) + C (z-c) = 0. Ее направляющий вектор n={A, B, C} совпадает с вектором s (см. рис. 1). Поэтому n={m, n, p} и уравнение α: m (x-a) + n (y-b) + p (z-c) = 0. 3 Теперь найдите точку М1 (x1, y1, z1) пересечения плоскости α и прямой f путем решения системы уравнений (x-x0) / m = (y-y0) / n = (z-z0) / p и m (x-a) + n (y-b) + p (z-c) = 0. В процессе решения возникнет одинаковая для всех искомых координат величина u = [m (x0-a) + n (y0-b) + p (z0-c) ] / (m^2+n^2+p^2). Тогда решение x1=x0-mu, y1=y0-nu, z1=z0-pu. 4 На этом шаге поиска перпендикулярной прямой ℓ, найдите ее направляющий вектор g=M1M={x1-a, y1-b, z1-c}={х0-mu-a, y0-nu-b, z0-pu-c}. Положите координаты этого вектора m1=х0-mu-a, n1=y0-nu-b, p1=z0-pu-c и запишите ответ ℓ:

(x-a) / (х0-mu-a) = (y-b) / (y0-nu-b) = (z-c) / (z0-pu-c).